11.1 Resultados categóricos ordinales

Los resultados categóricos ordenados, como las escalas de Likert, tienen un orden natural pero no un espaciado fijo. Los modelos de enlace acumulativo asumen que una variable latente continua se divide en categorías mediante umbrales.

11.1.1 El modelo de enlace acumulativo

La idea: existe una variable latente continua $\phi_i$ que determina la respuesta. La categoría observada $y_i$ se determina por dónde cae $\phi_i$ relativo a los puntos de corte $\alpha_1 < \alpha_2 < \cdots < \alpha_{K-1}$ :

$\log\frac{\Pr(y_i \leq k)}{1 - \Pr(y_i \leq k)} = \alpha_k - \phi_i$

donde $\phi_i = \beta x_i$ es el predictor lineal. Los puntos de corte $\alpha_k$ se estiman a partir de los datos.

# Ordered categorical (cumulative link) model
# Simulate Likert-scale data (1-7 response)

set.seed(42)
n <- 300

# Latent continuous variable

x <- runif(n, 0, 10)
phi <- -1 + 0.3 * x + rnorm(n, sd = 1)

# Cutpoints for 7 categories (6 cutpoints)

cutpoints <- c(-2, -1, 0, 1, 2, 3)

# Convert to ordered categories

y <- cut(phi, breaks = c(-Inf, cutpoints, Inf), labels = 1:7)
y <- as.numeric(as.character(y))

cat("Ordered categorical data:\n")
cat(" Categories:", paste(sort(unique(y)), collapse = ", "), "\n")
cat(" Distribution:", paste(table(y), collapse = ", "), "\n")

# Fit ordered logistic regression using MASS::polr

library(MASS)
m <- polr(factor(y) ~ x, method = "logistic")

cat("\nOrdered logistic regression:\n")
cat(" Coefficient:", round(coef(m)[1], 3), "\n")
cat(" Cutpoints:", round(m$zeta, 3), "\n")

# Predicted probabilities at x = 2, 5, 8

cat("\nPredicted probabilities:\n")
for (x_val in c(2, 5, 8)) {
pred <- predict(m, data.frame(x = x_val), type = "prob")
cat(sprintf(" x = %d: P(y=1)=%.3f P(y=4)=%.3f P(y=7)=%.3f\n",
x_val, pred[1], pred[4], pred[7]))
}

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11.1.2 Interpretación del modelo

El coeficiente $\beta$ nos dice cómo se desplaza la variable latente por unidad de aumento en $x$ . Un $\beta$ positivo significa que mayor $x$ desplaza la distribución hacia categorías más altas.

# Visualize the cumulative link model
set.seed(42)
n <- 300
x <- runif(n, 0, 10)
phi <- -1 + 0.3 * x + rnorm(n, sd = 1)
cutpoints <- c(-2, -1, 0, 1, 2, 3)
y <- as.numeric(cut(phi, breaks = c(-Inf, cutpoints, Inf), labels = 1:7))

library(MASS)
m <- polr(factor(y) ~ x, method = "logistic")

# Plot predicted category probabilities vs x

x_seq <- seq(0, 10, length.out = 200)
pred_matrix <- predict(m, data.frame(x = x_seq), type = "prob")

# Stacked area plot

par(mfrow = c(1, 1))
colors <- rainbow(7)
plot(NULL, xlim = c(0, 10), ylim = c(0, 1),
xlab = "x", ylab = "Probability",
main = "Cumulative link: category probabilities vs x")

for (k in 1:7) {
if (k == 1) {
polygon(c(x_seq, rev(x_seq)), c(pred_matrix[, k], rep(0, length(x_seq))),
col = adjustcolor(colors[k], 0.7), border = NA)
} else {
polygon(c(x_seq, rev(x_seq)),
c(rowSums(pred_matrix[, 1:k]), rev(rowSums(pred_matrix[, 1:(k-1)]))),
col = adjustcolor(colors[k], 0.7), border = NA)
}
}
legend("topright", legend = paste("y =", 1:7), fill = adjustcolor(colors, 0.7),
ncol = 4, cex = 0.8)

cat("As x increases, probability shifts toward higher categories.\n")
cat("The cutpoints determine where the shifts occur.\n")

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Rethinking

Las categorías ordenadas no son intervalos. Una escala de Likert de 1 a 7 parece números, pero la distancia entre 1 y 2 no es necesariamente la misma que entre 6 y 7. El modelo de enlace acumulativo respeta esto: asume solo el orden, no el espaciado. Los puntos de corte se estiman a partir de los datos, así que el modelo aprende dónde están las fronteras. Esto es más honesto que tratar las categorías ordenadas como números continuos, lo que asume espaciado igual — un supuesto rara vez justificado.

Resumen de la Sección 11.1

Los resultados categóricos ordenados tienen orden pero no espaciado fijo.
Modelo de enlace acumulativo: una variable latente se divide en categorías mediante umbrales.
$\log\frac{\Pr(y \leq k)}{1 - \Pr(y \leq k)} = \alpha_k - \phi_i$ donde $\phi_i = \beta x_i$ .
El coeficiente $\beta$ desplaza la variable latente; los puntos de corte $\alpha_k$ se estiman.
Use MASS::polr() para regresión logística ordenada en R.

Práctica

Resultados con inflación de ceros