13.5 Resumen

Capítulo 13 en revisión

El Capítulo 13 extendió los modelos multinivel a pendientes variables y procesos Gaussianos. El hilo conductor es la covarianza: el modelo aprende cómo se relacionan los parámetros entre sí, no solo sus valores promedio.

Cubrimos:

1. Pendientes variables (Sección 13.1): Permiten que el efecto de un predictor difiera entre grupos. El modelo estima una matriz de covarianza con varianzas y una correlación $\rho$ entre interceptos y pendientes. La distribución a priori LKJ regulariza la correlación.

2. Admisión y género (Sección 13.2): Paradoja de Simpson — el efecto agregado puede invertir los efectos dentro de los grupos. Las pendientes variables por departamento revelan la verdadera estructura y muestran que la variación entre departamentos es tan importante como el promedio.

3. Chimpancés cruzados (Sección 13.3): Múltiples efectos aleatorios cruzados (actor, bloque, tratamiento) con pendientes variables por actor. Más estructura no significa sobreajuste — el agrupamiento parcial controla la complejidad.

4. Procesos Gaussianos (Sección 13.4): Interceptos variables para categorías continuas (espacio, tiempo). La función de covarianza determina cómo decae la similitud con la distancia. La escala de longitud $\ell$ controla la suavidad.

Fórmulas clave

• Pendientes variables: $(\gamma_j, \beta_j) \sim \text{MVNormal}(0, \Sigma)$ con $\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_\gamma^2 & \rho\sigma_\gamma\sigma_\beta \\ \rho\sigma_\gamma\sigma_\beta & \sigma_\beta^2 \end{pmatrix}$
• Distribución a priori LKJ: $p(\mathbf{R}) \propto |\mathbf{R}|^{\eta-1}$
• Kernel exponencial cuadrado: $\text{Cov}(f(x), f(x')) = \sigma^2 \exp(-(x-x')^2 / (2\ell^2))$

Lecciones clave

• Las pendientes variables son interacciones agrupadas — interacciones con encogimiento.
• La correlación entre interceptos y pendientes es parte del modelo.
• La paradoja de Simpson es un problema de agrupamiento — las pendientes variables la resuelven.
• Los procesos Gaussianos son interceptos variables para dimensiones continuas.
• Modelar la covarianza es tan importante como modelar las medias.