3.4 Resumen

Capítulo 3 en revisión

El Capítulo 3 mostró que el muestreo es el disolvente universal de la computación bayesiana. Una vez que podemos extraer muestras de la posterior, toda pregunta sobre los parámetros se convierte en una pregunta empírica: calcule la función en la muestra y tome el promedio.

Aprendimos tres usos del muestreo:

1. Muestreo para resumir (Sección 3.2): Calcular intervalos de credibilidad, medias a posteriori, medianas, modas y probabilidades a posteriori a partir de muestras. El intervalo de percentiles y el intervalo HPD son dos formas de resumir la incertidumbre. Las estimaciones puntuales (media, mediana, moda) son útiles pero descartan información.

2. Muestreo para simular predicción (Sección 3.3): Extraer de la distribución predictiva a posteriori muestreando parámetros y luego simulando nuevos datos. Esto nos permite verificar el ajuste del modelo y pronosticar observaciones futuras.

3. Muestreo como fundamento de MCMC (Capítulo 8): Cadenas de Markov Monte Carlo producen muestras de cualquier posterior, no importa cuán compleja. Una vez que tenemos muestras, el resto es aritmética.

Fórmulas clave del Capítulo 3

• Estimación de Monte Carlo: $\hat{E}[f(\theta)] \approx \frac{1}{S} \sum_{s=1}^{S} f(\theta_s)$
• Intervalo de percentiles: $[\hat{\theta}_{\alpha/2}, \hat{\theta}_{1-\alpha/2}]$ a partir de cuantiles posteriores
• Probabilidad a posteriori: $P(\theta \in A \mid D) \approx \frac{1}{S} \sum \mathbf{1}[\theta_s \in A]$
• Predictiva a posteriori: $p(y_\text{new} \mid D) = \int p(y_\text{new} \mid \theta) \, p(\theta \mid D) \, d\theta$